第十九章 全国高中生物理竞赛 (2/2)

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相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep=r分之GMm，式中G为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变，探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。

    ①求探测器刚离开飞船时的速度大小；

    ②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。

    题目下面画着的时候飞船返回地球的图。

    ‘这题，有点意思。’

    拿着笔的吴斌两眼发光。

    第一问没什么难度，很简单的两方程联立求出大概算第一宇宙速度的答案。

    吴斌拿起笔就开始写。

    解：设地球质量为M，飞船质量为m，探测器质量为m’，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为vo

    根据万有引力定律和牛顿第二定律有（kR）2分之GM（m+m’）（m+m'）kR分之vo2

    对于地面附近的质量为mo的物体有mog=GMmo/R2

    解得：vo=根号k分之gR

    第一问是很简单，但这第二问就有点意思了，题目给出了一个引力势能的式子，里面小坑相当多，总之先不要慌，不要想为啥是无限远，为啥引力势能带负号，这都是做完再想的事。

    首先很明显，这里动能势能和不变，机械能守恒的表达式是Ek+Ep=0

    所以就能把Ep带代入进去。

    得到

    2分之1mv2-kR分之GMm=0

    就解得：V’=根号kR分之2GM=根号2vo=根号k分之2gR

    第二问②继续来，首先题目给了个条件（实质是开普勒第二定律）

    即RvB=kRVA

    一般来说，写上这一步应该就有一分了。

    然后很显然在AB两点有机械守恒。

    2分之1mvB2-R分之GMm=2分之1mvA2-KR分之GMm

    算到这吴斌发现这里并没有另外一个质量。

    ‘嗯……遇事不决列方程！’

    ‘能沟通这两个质量的方程，只有动量守恒方程了吧。’

    想到这吴斌不自觉的点点头，继续往下写。

    （m+m’）vo=mvA+m'v'

    最后因飞船通过A点与B点的速度大笑与这两点到地心的距离成反比，即RvB=kRvA

    解得：m'分之m=1-根号k+1分之2分之根号2-1

    “呼……”

    吴斌吐了口气将笔放了下来。

    “嗯，步骤都对，分数全拿，可以啊！”蔡国平看完十分欣慰的猛拍了一下吴斌的肩膀。

    “挺有意思的，那老师我接着做了。”吴斌说完喵向下一题。

    可蔡国平却突然将卷子一抽，说：“不用做了，既然你能这么轻松就解出这道题，去参加竞赛应该也没问题了。”

    “竞赛？”吴斌一愣。

    “对，全国高中生物理竞赛！”

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    PS：题目里有些符号不太好打……就代替了一下。